The ring whose module class is embedded in projective module

VÀNH MÀ MỘT LỚP MÔĐUN NHÚNG ĐƯỢC VÀO MÔĐUN XẠ ẢNH
Tác giả: Bành Đức Dũng,

Tóm tắt:

Năm 1967, Faith và Walker có định lý đặc trưng vành quasi-Frobenius nổi tiếng, đó là vành là quasi-Frobenius nếu và chỉ nếu mọi -môđun phải nội xạ là xạ ảnh. Từ đó suy ra rằng nếu mọi -môđun phải đều nhúng được vào một R-môđun phải xạ ảnh, hoặc một cách tương đương nhúng vào một R-môđun tự do, thì là vành quasi-Frobenius. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là, nếu không phải mọi môđun nhúng được mà chỉ một lớp môđun nào đó thì vành sẽ như thế nào? Vành mà mọi môđun phải hữu hạn sinh (tương ứng, mọi môđun cyclic) nhúng được vào một môđun tự do được gọi là FGF phải (tương ứng CF phải). Hai câu hỏi vẫn còn mở cho đến nay đó là: 1. Vành FGF phải có là QF? 1. Vành CF phải có là artin phải? Câu hỏi (1) và (2) này lần lượt được gọi là Giả thuyết FGF và Giả thuyết CF. Nếu giả thuyết CF được giải quyết thì giả thuyết FGF cũng được giải quyết do một vành artin phải, FGF phải là QF. Từ khi Faith đặt tên cho các lớp vành này đến nay, đã có rất nhiều công trình của rất nhiều tác giả cho những câu trả lời tiệm cận. Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu một cách tổng quan các kết quả đạt được về các lớp vành này và một số câu hỏi mở.

Từ khóa: CF vành, FGF vành, QF vành

Abstract:

Faith and Walker (1967) characterized QF rings as the class of rings if and if every right injective module is projective. It can be implied that if every right R-module is embedded in a projective module or, equivalently, in a free module, then R is QF. The question is if not all the module but a class of it is embedded, how the ring R is. The ring of which every finitely generated (cyclic) right R-module is embedded in a free module is called right FGF (resp. CF). There have been two conjectures: Right FGF ring is QF (FGF’s conjecture)? Right CF ring is artinian (CF’s conjecture)? If the CF’s conjecture is true, then so is FGF’s conjecture because a right artinian and FGF ring are QF. In this paper, we introduce these problems generally and then pose some open questions.

Keywords: CF Ring, FGF Ring, QF Ring

Các bài báo khác của tác giả được đăng trên tạp chí

Số thứ tự Bài báo Tạp chí Trang Ngày đăng